有限的世界中潜藏着无限：托里拆利小号｜数学思考法

下文节选自《 数学思考法：解析直觉与谎言》，已获图灵授权，【遇见数学】特此表示感谢！

作者者：神永正博

译者者：孙庆媛

出版社：人民邮电出版社图灵新知

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今天的这个问题，总让我觉得有点儿不对劲儿，这种题应该没人能解出来吧？因为根本就没有答案！

▌问题：

存在一个杯子，杯子的容量是有限的，但即使用尽地球上所有玻璃材料，也不足以制作出这个杯子。这个杯子究竟应该如何制作呢？

“即使用尽地球上所有玻璃材料，也不足以制作出这个杯子”，意思是说这个杯子的表面积是无穷大的，也就是说这个杯子表面是无限延伸的。但是这样的话，它的体积也应该会同步增大的啊，题里面却又说到“容量是有限的”，这难道不是自相矛盾的命题吗？

难怪 X 先生会不服气，这个问题乍看上去确实有点儿古怪，有悖于常人的直觉。另外，这个问题也有别于之前的问题，我们无法通过实际动手去一试究竟。只能通过思考，也就是所谓的思想实验来进行验证。

换句话说，这道题也可以理解为：“如何在理论上构造一个体积有限、表面积无限的图形。”

这么想来，命题就是要设计一个特殊的容器，为了使理论设想的过程更为形象，我们可以将其想象为一个现实中存在的容器，比如一个玻璃茶杯。

对于茶杯来说，使用者关注的是“这个茶杯究竟可以装多少水”；而茶杯的生产制造者则更加关注“制造茶杯究竟要耗费多少原材料”。这和我们理论设想中的要点是一致的。

为了方便推导，我们要进行一些理想化假设。首先假设玻璃茶杯的厚度无穷小，小到可以忽略不计。这样的话，在茶杯上盖上一个非常薄的茶盖，整个茶杯的体积就近似等于其容量（容积）。

茶杯的表面积，则基本决定了制造茶杯需要多少原料（玻璃）。基于上述假设，我们再回过头来思考本节开篇处 X 先生试图解答的问题：

▌问题：

存在一个杯子，杯子的容量是有限的，但即使用尽地球上所有玻璃材料，也不足以制作出这个杯子。这个杯子究竟应该如何制作呢？

我们先从数学的角度来考虑，满足上述条件的杯子是什么形状。

首先，给出一个无线延伸的反比例函数曲线 y = 1/x （图 102）。可以观察到当 x = 0 时，y 的值是趋近于无限大的，因此为便于论证，我们以 x = 1 为节点，对这条无线延伸的曲线进行截取。这样就可以得到一条极度细长的曲线，这条曲线是向坐标轴右侧无限延伸的。当然，图 102 中只给出了这条曲线有限的一段，理论上，完整地呈现出来的话应该是像一条无限延伸的细长尾巴。

图 102 反比例函数曲线

将这条曲线绕着 x 轴旋转一圈，就可以得到图 103 中的图形。

图 103 托里拆利小号

图中呈现的只是这个图形的一部分，理论上这是一个无限延伸的图形。这个图形已经不太像茶杯，更像是一个小号。数学上将这个特殊的形状命名为“托里拆利小号”，以纪念其发现者——意大利数学家托里拆利。

这个图形的特点为体积有限，而表面积无限。大家能从图中体会到这一点吗？或许会略微有一些难度吧。

下面我们就来分析一下这个图形。

首先，来看一下它的体积。换言之，就是当我们把这个小号立起来，从较宽的端口注满水时，水的注入量大概是多少。

要计算出小号的体积，首先我们需要用一个与 x 轴垂直的平面沿x 轴纵向切开小号。所得到的截面就是一个近似于图 104 的图形。

图 104 小号截面的近似图形

图 104 小号截面的近似图形

图 104 小号截面的近似图形

图 104 小号截面的近似图形

这个图形就像是由无数细长的长方形组合而成的，并且这些长方形的长度是不断递减的。将这个图形旋转一周，同样可以得到无数个薄薄的小圆板。

再进一步，我们还可以如图 105 那样，将截面分割得更加精细。

之后，再将此图形绕 x 轴旋转一周，就可以得到对应的无数个小圆板。此时，所有这些小圆板的体积之和，就非常接近于我们所求的小号的体积了。而如果要进行更精确的计算，则要切割得足够细， 使这些小长方形的宽度足够小，小到整个图形无限近似于小号截面时，就可以得出小号体积的正确答案了。

图 105 切割得更精细！

有了明确的操作方法，接下来我们就可以试着去动手计算。

首先，假设小号的长度为 L -1，那么要计算小号的体积，就是要计算 x 从 1 到 L 时的体积。根据 L 与小号体积的变化情况，可以绘出如图 106 所示的曲线。

图 106 长度从 1 到 L 时小号体积的相应变化

小号在长度方向上是无限延展的。而随着长度 L 的不断增大，体积的增加幅度却不断放缓。那么，不管长度有多长，可以肯定的是， 小号的体积是无法超过某一个特定的数字的。

数学家们根据详细计算已经发现，长度无线延展的托里拆利小号，其体积最终等于π 。

计算完了体积，下一步我们要探讨的就是小号的表面积了。这次，我们需要更精确地截取小号的近似截面。

如图 107，直接截取小号从 x 到 △x 的一段，得到一个类似圆锥台（将圆锥的顶端整齐切除后得到的立体图形）的图形。

图 107 将托里拆利小号按照厚度 x 进行截取

以上仅是一个近似的示意图，如果能够将 △x 的值缩小，那么把所有这些切割出的圆锥台的表面积相加，不就可以得出托里拆利小号的表面积了吗 ?

依照这个思路，我们来计算 x 从 1 到 L 变化时小号的表面积， 用图 108 的曲线表示。

图 108 小号的表面积

可以看到，与图 106 的曲线，也就是小号体积随长度变化的曲线相比，随着长度的增加，表面积增长的幅度更为剧烈。不过，从这个结果也还是无法明确得出小号的表面积是否真的是无限大。

在这种情况下，就需要我们将小号表面积的计算进行更为精细的拆解。如图 109 上方的图形所示，可以用半径为 y 的圆的周长2 πy，再乘以圆锥台的斜面的长（斜长），计算出单个圆锥台的表面积，然后将所有圆锥台的表面积相加，就可以得出小号的表面积。

图 109 由下方的乘积来界定表面积

在这里，圆锥台斜面的长虽然是未知的，但我们可以肯定的是， 这个值一定大于圆锥台的厚度 △x 。由此可知，小号的表面积也应当大于“圆的周长（2πy ）乘以 △x 的值”。

更明确的表述为，小号的表面积大于2πy × △x 。

那么，此时问题就可以替换一下了，即求 2πy × △x 的值是多少。

当 △x 足够小时，这个乘积就可以用图 110 的反比例函数的面积再乘以2π 来表示。

图 110 小号表面积大于图中灰色部分面积乘以 2π 所得的值

反比例函数的面积是无限大的。从 1 到 L 的面积，可以用以下公式来表述：

log L

log 在这里可以大致理解为一个和 L 的位数成比例增长的函数。如果 L 是无限大的，那么 logL 的值也是无限大的。

即使小号的长度（L -1）是有限的，当 L 越来越大时，体积也会逐渐接近于一个特定的值，但表面积却是无限增大的。表面积无限大也就意味着，若想制造这样一个物体，则原材料永远也无法满足消耗。

本节中我们探讨了一个架空的问题——无限长的小号，但是现实世界里有些物理现象的性质与该问题是存在关系的。例如，我们都知道日本列岛的面积是有限的。但是海岸线的长度呢？翻开日本地图，粗略一看，会感觉海岸线长度是可以计算的有限数值，但是深入探究、细致测量的话，就会发现这个值越来越大，最终竟会出现数值趋向于无限大的情况。

海岸线的例子和面积、体积都无关。放在这里只是想告诉大家， 小号的例子、海岸线的例子都说明了一个道理：“有限的世界中潜藏着无限”。

还有很多例子都可以印证这一点。所谓“无限”，不仅仅是研究者想象出的架空的产物，而是实际存在的一种现象。(完)