矩阵的等价和相似有什么区别？

矩阵的等价和相似有什么区别？

1.矩阵等价是指两个矩阵可以相互表示

及存在可逆矩阵P Q使得PAQ＝B则矩阵A与B等价

2.相似是存在可逆矩阵P使得P^-1AP＝B则矩阵A与B相似

相似的矩阵一定等价，而等价未必相似

矩阵的等价和相似有什么区别？

1.矩阵等价是指两个矩阵可以相互表示

及存在可逆矩阵P Q使得PAQ＝B则矩阵A与B等价

2.相似是存在可逆矩阵P使得P^-1AP＝B则矩阵A与B相似

相似的矩阵一定等价，而等价未必相似

如何证明矩阵等价？

一、矩阵等价、相似和合同之间的区别：

1、等价，相似和合同三者都是等价关系。

2、矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。

3、矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。

4、矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB。

5、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B。

6、当上述矩阵P是正交矩阵时，即PT=P(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。

二、矩阵等价、相似、合同之间联系：

1、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。

2、矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。

3、 矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。

4、总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。

矩阵的等价和相似有什么区别？

1.矩阵等价是指两个矩阵可以相互表示

及存在可逆矩阵P Q使得PAQ＝B则矩阵A与B等价

2.相似是存在可逆矩阵P使得P^-1AP＝B则矩阵A与B相似

相似的矩阵一定等价，而等价未必相似

如何证明矩阵等价？

一、矩阵等价、相似和合同之间的区别：

1、等价，相似和合同三者都是等价关系。

2、矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。

3、矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。

4、矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB。

5、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B。

6、当上述矩阵P是正交矩阵时，即PT=P(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。

二、矩阵等价、相似、合同之间联系：

1、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。

2、矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。

3、 矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。

4、总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。